Sia \(y_t\) il numero dei nuovi positivi (o nuovi decessi) in data \(t\).
\[ \begin{eqnarray} \log y_t &=& \mu_t + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim NID(0, \sigma^2_\varepsilon) \\ \mu_{t+1} &=& \mu_t + \beta_t, \\ \beta_{t+1} &=& \beta_t + \zeta_t, \quad \zeta_t \sim NID(0, \sigma^2_\zeta) \end{eqnarray} \]
In questo modello il tasso di crescita giornaliero del livello è dato da \(r_t = \exp(\beta_t)\), dato che il valore del livello \(m_t = \exp(\mu_t)\) cresce secondo \[ m_{t+1} = r_t \cdot m_t. \] Per essere precisi il valore atteso di \(y_t\) è dato da \[ E[y_t|m_t] = m_t \exp\left(0.5\sigma^2_\varepsilon \right). \]
\[ \begin{eqnarray} y_t &\sim& p(m_t) \\ m_t &=& \exp(\mu_t) \\ \mu_{t+1} &=& \mu_t + \beta_t, \\ \beta_{t+1} &=& \beta_t + \zeta_t, \quad \zeta_t \sim NID(0, \sigma^2_\zeta) \end{eqnarray} \] dove \(p(m)\) denota la distribuzione (Possion o Binomiale Negativa) di media \(m\). Anche in questo modello il tasso (lordo) di crescita giornaliero del livello è dato da \(r_t = \exp(\beta_t)\), dato che il valore del livello \(m_t = \exp(\mu_t)\) cresce secondo \[ m_{t+1} = r_t \cdot m_t. \]
I due modelli producono risultati molto simili. Per mantenere il report sempre aggiornato ho creato alcune dashboard che si aggiornano autonomamente quando nuovi dati si rendono disponibili:
https://matteopelagatti.shinyapps.io/Covid19_report/
https://matteo-pelagatti.shinyapps.io/Covid19-CH/
https://matteopelagatti.shinyapps.io/Covid_monitor_it/
Nella dashboard sono riportati solamente i risultati del modello log-normale.